高等数学第一讲：映射与函数笔记

高等数学第一讲：映射与函数笔记

函数是特殊映射（限定为数集之间的映射），其核心要求是“对定义域中每一个自变量X，通过对应法则F，在值域中有唯一确定的Y与之对应”，且满足一对一或多对一、不能一对多；映射则为函数向一般非空集合的推广，遵循相同的唯一性要求，并按值域与像集合的关系分为满射、单射与双射。

一、课程总体介绍

• 本课程为《高等数学》（部分学校称为《微积分》），分为上册与下册。
• 高等数学是进入大学后的第一门数学必修课，地位重要。
• 本节为第一讲“函数与极限”的第一节“映射与函数”。
• 授课教师为“框框老师”，采用按学校教材顺序但先讲函数后讲映射的方式进行讲解，理由是“函数是大家熟悉的，映射是函数的一种推广”。

二、函数的定义

2.1 定义

函数定义中，A、B是两个非空的数集（注意此处限定为实数构成的数集）。如果存在一个对应法则F，使得对于A中的每一个数X，按照F在B中都有唯一确定的数Y与之对应，则称Y是X的一元函数，记为：

$$Y = F(X), \quad X \in A$$

也可记为映射形式：

$$F: A \rightarrow B$$

其中：

2.2 关键强调

• 值域R_F是集合B的子集，有可能等于B，也有可能只是B的一部分（书中称为真子集）。这点是重点注意对象。

2.3 判断函数关系的例子

2.4 唯一性要求的三种情况

1. 一对一：一个X对应一个Y（可以为函数关系，但不必要）。
2. 多对一：多个X对应同一个Y（可以为函数关系）。
3. 不能一对多：一个X对应两个或多个不同Y值（不能构成函数）。

核心：每个X通过对应法则F得到的Y值必须唯一确定。

三、函数的两个要素与两个函数相等的判断标准

3.1 为什么是两/三要素

• 定义域（D_F）与对应法则给定后，函数即可唯一确定，因此有的教材称为“两要素”。
• 大多数教材将值域加入，构成“函数三要素”。

3.2 判断两个函数是否相同的方法

判断两个函数f与g是否相同需要同时检查两个条件：

1. 定义域是否相同。
2. 对应法则（函数表达式）是否相同。

两者均相同才为同一函数；任一不同则不是相同函数。

3.3 例题解析：f(x) = ln x² 与 g(x) = 2 ln x 是否相同？

分步判断：

第一步：比较定义域

• 对f(x) = ln x²：需满足真数x² > 0，即X ≠ 0。定义域为 {X | X ≠ 0}（即去掉0点的全体实数）。
• 对g(x) = 2 ln x：需满足真数X > 0（对数运算的前提，是x自身需要大于0）。定义域为 (0, +∞)。

结论：两函数定义域不相同（f的定义域比g多了所有负数部分）。

第二步：比较对应法则

利用对数运算法则可将f的表达式化简：

$$f(x) = \ln x^2 = 2\ln x \quad (X ≠ 0 时)$$

因此两个函数表达式化简后相同，即对应法则形式上相同。

最终结论：尽管对应法则相同（化简后表达式相同），但由于定义域不同，f(x) 与 g(x) 不是相同函数。此处特别提醒：判断函数相等时不能只看表达式化简结果，还需严格看定义域是否完全一致。

四、映射的概念

4.1 从函数推广到映射

映射与函数的区别在于：

• 函数要求A、B是两个非空数集。
• 映射只要求A、B是两个非空集合，本身不必是数集。集合元素可以是商品、学生姓名、学号、高校名称等任意对象。

4.2 映射的定义

设A、B为两个非空集合，如果存在一个对应法则F，使得对A中每一个元素X，在B中都有唯一确定的元素Y与之对应，则称F为从A到B的映射，记作：

$$F: A \rightarrow B$$

同时也可记为Y = F(X)，X ∈ A。

4.3 映射相关术语

• 原象：集合A中的元素X称为原象。
• 象：B中与X对应的元素Y称为X的象。
• 定义域：A集合即为映射F的定义域，记作D_F（此处定义域与A完全相同）。
• 值域：所有原象（X取遍A）由F对应得到的象Y所构成的集合称为映射F的值域，记作R_F。

4.4 值域关系

R_F是B的子集，可能只是B的一部分（即B中可能存在“没有对应的元素”）。这里的B不一定是全部被“映射到”的集合。

4.5 应用实例（高考对应的映射）

教师用宿舍四名学生（小明、小华、小刚、小强）对应考取的大学来比喻：A为学生组成的集合，B为高校（985、211、一本、二本等）组成的集合，通过高考这个法则F，每个学生唯一对应一个学校层次。此处值域即为实际被考取的那些高校种类，B集合为所有可能的高校种类，值域包含于B。

4.6 函数与映射的关系

函数是一种特殊的映射——当映射的A、B限定为数集时即为函数。映射要求满足与函数相同的对应规则：一对一或多对一，不能一个X对应多个Y。

五、映射的分类

以下用高考录取的例子解释三类映射。设A中为小明、小华、小刚、小强四位学生（四个不同原像），B为大学层次集合。

5.1 满射

定义：映射F的值域恰好等于B集合（即所谓“值域等于陪域”），B没有多余的元素。

实例说明：小明考上985，小华考上211，小刚考上一本，小强也考上一本。此时B中四种高校（或当前B中只有985、211、一本并存），全部都被对应到了，B中没有多余的“二本”和“三本”无人对应，即值域 = B，称为满射。

5.2 单射

定义：若X₁ ≠ X₂（两个不同的原象），必有F(X₁) ≠ F(X₂)（对应的象也不同），称为单射。

实例说明：小明考985、小华考211、小刚考一本、小强考二本，即不同学生对应不同的学校层次，每人都有自己的去处且互不相同，称为单射。若小刚和小强都考一本，则Y₃ = Y₄，存在不同X对应相同Y的情况，不为单射。

5.3 双射（一一映射）

定义：同时满足满射与单射条件的映射称为双射（即一一映射或一一对应）。

实例说明：小明考上985、小华考上211、小刚考上一本、小强考上二本（且B中恰好只有这四种高校，没有三本等空闲对象），既是满射（B无多余）也是单射（不同人对应不同层次），合起来即为双射。

核心公式：单射 + 满射 = 双射。

六、逆映射

6.1 逆映射的定义前提

原映射F：A → B必须是单射。只有单射才能保证每个象能唯一确定地找回原象，从而定义逆映射。

6.2 逆映射的直观含义

设存在X₁通过F对应Y₁、X₂对应Y₂、X₃对应Y₃（Y₄为B中的多余元素，不属于值域）。因F是单射，每个Y值恰恰对应于A中一个唯一的X，因此可以反向建立从值域R_F到A集合的映射，即原来的定义域与值域互换角色。

6.3 形式定义

逆映射记为：

$$F^{-1}: R_F \rightarrow A$$

注意：

• 逆映射的定义域 = 原映射的值域；
• 逆映射的值域 = 原映射的定义域。

6.4 求逆映射的步骤（以函数为例）

示例：已知映射（函数）F(X) = 2X（为一元函数），求逆映射。

步骤1：将F(X)写成Y = F(X)的形式：Y = 2X； 步骤2：解出X（作为Y的函数）：X = Y/2； 步骤3：按习惯将因变量记为Y、自变量记为X，得到Y = X/2；写成符号即为F⁻¹(X) = X/2。

七、复合映射与复合函数

7.1 复合映射定义的前提

两个映射：

• 第一个映射G：A → B，对应法则为U = G(X)；
• 第二个映射F：B₁′ → C，对应法则为Y = F(U)。

若第一个映射的值域B是第二个映射的定义域B₁′的子集（B ⊆ B₁′），使得A中每个X经G得到的U同时也是F定义域中的元素，则可构造复合映射。

7.2 复合映射的定义

在满足值域包含条件下，通过中间变量U将两个映射连接起来，得到从A到C的一个新映射，称为F与G的复合映射（复合函数），记为：

$$F \circ G$$

即：Y = F(G(X))，X ∈ A

其中G为内层函数（或内层映射），F为外层函数（或外层映射）。

7.3 复合函数的要求

若A、B、B₁′、C都是数集，则复合映射即复合函数，例如Y = e^(sin X)即为指数函数与三角函数复合的实例。

复合的成立条件（重要考点）：

内层函数的值域R_G必须包含于外层函数F的定义域，否则无法复合。

7.4 复合的次序不可交换

F与G的复合（F ∘ G）不等于G与F的复合（G ∘ F），外层与内层不能随便交换位置。

举例验证（自复数域到实数域）：

设G(X) = X + 1，F(X) = 3X。

计算F ∘ G（即F(G(X))）：把G作为内层函数代入F：

$$F(G(X)) = 3(X + 1) = 3X + 3$$

计算G ∘ F（即G(F(X))）：把F作为内层函数代入G：

$$G(F(X)) = 3X + 1$$

比较可见：3X + 3 ≠ 3X + 1，故两个方向的复合结果不相同。

八、各概念之间的关系总结

• 函数（一般的微积分研究对象）是实数集到实数集的特殊映射。
• 映射不限定集合类型（数集、人集合、物品集合均可）。
• 函数与映射都要满足唯一对应规则：一对一、多对一均可，一对多不可。

九、本次课程中常见考点总结

9.1 必背定义层级结构（按课程逻辑）

映射（非空集合之间）
  └── 函数（数集之间的映射）
        ├── 按值域与陪域关系分类：满射 / 非满射
        ├── 按象的唯一性分类：单射 / 非单射
        └── 双射 = 满射 + 单射（一一映射）

9.2 判断“是否为函数（映射）”的步骤

1. 找到X的取值范围（定义域是否明确或隐含成立）。
2. 检查确定性：任取定义域内X（一般验证有X能对应多个Y的“反例”即可判断不是函数），是否在对应法则下总有唯一Y。

9.3 判断“两个函数是否相同”的步骤

1. 比较定义域，看是否完全相同；
2. 比较对应法则（化简表达式后是否一致）；
3. 两者都相同才是同一函数。

（典型例题：f(x) = ln x² 与 g(x) = 2 ln x，定义域不同 → 不相同。课本常见的另一变体是h(x) = x 与 p(x) = √(x²)，两函数因定义域或对应值不同也可能不同，但本次课程未涉及。）

十、课后核心方法清单（供练习使用，课程推进至此）

• 给定表达式判定是否为函数：重点检查是否有“一个X对应多个Y”的情况。
• 给定逻辑表达式（例如f(x) = ln x²）确定定义域。
• 求逆映射关系时，先将Y = F(X) 中X解出，再按习惯替换为Y = F⁻¹(X)的形式表达。
• 构造复合函数前先验证内层函数值域是否包含于外层函数定义域，不可盲目代入。

局限与补充说明：本节为映射与函数的基本概念课程，未涉及具体图形、函数的性质（奇偶性、周期性、单调性）、初等函数分类等内容（应属于后续小节）。授课中对“值域为B的子集但可能不相等”的概念以高考宿舍例子辅助说明，但并未就“为什么映射的陪域B可以大于值域但不能小于值域”做数学上的严格证明。逆映射的讲解中，教师以函数F(X) = 2X为例子说明了单射情形下的逆映射求法，但对非单射映射是否存在逆映射未展开论述，因反例自然排除在定义之外。这部分需要后续课程内容补充。