概率知识总结笔记

必修二 · 第十章

概率知识点全总结

事件关系 · 古典概型 · 概率性质 · 相互独立性

本章围绕概率的计算与事件关系展开。核心逻辑：先理清事件之间的包含、互斥、对立、独立关系，再用古典概型公式与概率性质进行计算。以下按四个模块梳理核心知识+典型例题形式，助你一图掌握全章脉络。

1 事件的关系与运算

包含关系（A⊂B）

A发生 → B必然发生，称A包含于B。

例：掷骰子，A=出现点数1，B=出现点数奇数。A发生则B必发生，故 A⊂B。

记忆：小范围发生，大范围一定发生。

并事件 / 和事件（A∪B 或 A+B）

A与B至少有一个发生，记作A∪B或A+B。

例：A=点数1，B=点数2，则A∪B=点数1或2。

交事件 / 积事件（A∩B 或 AB）

A与B同时发生，记作A∩B或AB。

例：A=点数1,2,3；B=点数2,3,4，则A∩B=点数2或3。

互斥事件与对立事件

互斥：A与B不能同时发生，即A∩B=∅。

对立：有且仅有一个发生，即A∩B=∅ 且 A∪B=必然事件。

例：掷骰子，A=奇数，B=偶数 → 对立事件。

易错：互斥不一定对立，但对立必互斥。互斥是对立的必要不充分条件。

典型例题

袋中有5红3白，任取3球。下列互斥但不对立的事件是？

A. 至少1红球与都是红球 → 包含关系，非互斥

B. 至少1红球与都是白球 → 对立关系

C. 恰1红球与恰2红球 → 互斥且不对立 ✅

D. 至少1红球与至少1白球 → 有重叠可能，非互斥

2 古典概型

两个特征

① 有限性：样本空间包含有限个样本点

② 等可能性：每个样本点出现的可能性相同

概率公式

P(A) = N(A) / N(Ω)

分母=样本空间总样本点个数，分子=事件A包含的样本点个数。

注意：有序与无序

列出样本点时，需区分有序（如依次取数放回）和无序（如任取两个数）。无序时 (0,1) 与 (1,0) 视为同一可能性。

例题：古典概型

从0、1、2、3四个数中任取两个（无序），求两数之和大于3的概率。

样本空间Ω = {(0,1)(0,2)(0,3)(1,2)(1,3)(2,3)}，共6组。

A={两数之和>3} = {(1,3)(2,3)} → N(A)=2

P(A) = 2/6 = 1/3

变式：有序取数（放回）

从0、1、2、3中有放回取两次，求两次数字之和大于3的概率。

Ω总数 = 4×4 = 16。

B={(1,3)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)} ，共6组。

P(B) = 6/16 = 3/8

关键：注意树状图列出所有可能，不重不漏。

3 概率的基本性质

性质三（互斥）

若A与B互斥，则：

P(A∪B) = P(A) + P(B)

性质六（一般公式）

对任意事件A、B：

P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)

本质：性质三是性质六的特例——互斥时P(A∩B)=0。

例题：概率计算

袋中红、黄、黑、绿球。任取一球：

P(红)=1/3，P(黑或黄)=5/12，P(黄或绿)=5/12。

求各色球概率。

设R=红，B=黑，Y=黄，G=绿。

由题意可得：P(B)+P(Y)=5/12，P(Y)+P(G)=5/12，P(R)+P(B)+P(Y)+P(G)=1

联立解得：

P(黑)	P(黄)	P(绿)
1/4	1/6	1/4

4 事件的相互独立性

定义

事件A的发生不影响事件B的发生，则称A与B相互独立。

判断公式

P(AB) = P(A) · P(B)

这是判断A与B是否相互独立的充要条件。

例题：猜成语

甲乙组队猜成语，甲每轮猜对概率3/4，乙每轮猜对概率2/3。两人互不影响，各轮互不影响。求两轮活动中猜对3个成语的概率。

方法一（按人分）：

甲对1个乙对2个：P=(3/8)×(4/9)=1/6

甲对2个乙对1个：P=(9/16)×(4/9)=1/4

P = 1/6 + 1/4 = 5/12

方法二（按轮分）：

第一轮1个+第二轮2个 = 5/24；第一轮2个+第二轮1个 = 5/24

合计 = 5/12 ✅

检验：两种思路结果一致，说明计算正确。

5 综合运用：文氏图判断事件关系

综合例题

样本空间Ω有60个样本点，其中N(A)=30，N(B)=10，N(C)=20，N(D)=30；

N(A∪D)=60（A与D对立 ✅），N(A∪B)=40，N(A∩C)=10，N(A∪D)=60。

结论：

• A与B 互斥（无交集）

• A与D 对立 ✅

• C与D 不互斥（有10个样本点重叠）

• A与C 相互独立验证：P(AC)=10/60=1/6，P(A)·P(C)=(30/60)×(20/60)=1/2×1/3=1/6 ✅

"概率的本质是不确定性中的确定性规律，掌握事件关系，就能拨云见日。"

—— 本章核心思想

✎学习行动建议

① 熟练背诵四个事件关系，并用维恩图辅助记忆；

② 古典概型先判断"有序/无序"再列样本点；

③ 独立事件用 P(AB)=P(A)P(B) 验证；

④ 概率总和为1 是检查答案的重要抓手；

⑤ 多做分类讨论题型，熟练拆解复杂事件为简单事件之和。

📌 核心要点速记

➊包含：小⇒大；对立⊂互斥；"互斥不是对立"

➋古典概型：有限+等可能，P(A)=N(A)/N(Ω)

➌概率加法：互斥直接加，一般需减交集

➍独立判断：P(AB)=P(A)P(B) 是核心公式

➎列出样本点：树状图/表格，有序无序要分清

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