函数基本概念

很多人第一次接触函数时，都觉得教材里的定义像"没说一样"——"变量"、"唯一确定"、"对应"，每个字都认识，连起来就懵了。其实，函数完全可以一句话讲清楚。

核心理解

给我一个 · 造一下 · 出来一个

—— 这就是函数

你给一个X，函数通过某种规则加工（造一下），输出对应的Y。

给我一个

造一下

出来一个

对比举例

✔ 是函数：Y = 2X

X = 1→1 × 2 = 2确定

X = 2→2 × 2 = 4确定

每个X都有唯一的Y对应

✔ 是函数：Y = X²

X = 1→1² = 1确定

X = 2→2² = 4确定

每个X都有唯一的Y对应

✘ 不是函数：元素 → 化合价

铜（Cu）→+1 或 +2？不确定

同一个X对应多个Y，不满足唯一确定

生活实例

✓

复兴号高铁

保持高速匀速行驶时

S = 350T （T ≥ 0）

T（时间）→ S（路程），通过解析式对应

✓

空气质量指数

时间 T → 空气质量指数 AQI

通过图像对应，每个时刻有唯一AQI值

函数三要素

定义域

机器能接收的所有输入X

对应关系

机器怎么加工，f

值域

所有可能的输出Y

定义域 + 对应关系 → 决定值域

三要素中，定义域和对应关系是最关键的，值域由它们决定

数学记号

y = f(x)

f 表示对应关系，x 在括号内是自变量

f(x) = 2x

一次函数

g(x) = x²

二次函数

这种写法突出了对应关系 f 或 g 的地位

区间写法

表示定义域时，用区间简洁明了：

0 ≤ X ≤ 1

[0, 1]

0 < X ≤ 1

(0, 1]

0 ≤ X < 1

[0, 1)

0 < X < 1

(0, 1)

X < 2 → (−∞, 2)

X ≥ 2 → [2, +∞)

X > 2 → (2, +∞)

∞ 永远取不到，所以永远是"开"

三种表示方法

解析法

通过代数表达式表示对应关系

f(x) = 2x, x ∈ [0, 1]

需要同时写出对应关系和定义域

图像法

通过平面坐标系中的图形表示函数

f(x) = 2x + 1 是一条直线

直观，可以看出变化趋势

列表法

通过表格逐项列出对应数值

X	1	2	3	4	5
Y	3	6	9	12	15

一目了然，但元素多时不便

自然定义域

不写定义域时，取能使函数有意义的全部实数：

f(x) = x² 自然定义域为 R

f(x) = √x 自然定义域为 [0, +∞)

f(x) = 1/x 自然定义域为 {x | x ≠ 0}

★ 函数写法公式：对应关系 + 定义域 = 完整函数

小结

函数 = 给我一个 + 造一下 + 出来一个

📌 判断函数：每一个X是否有唯一确定的Y

📌 三要素：定义域、对应关系、值域

📌 关键：定义域 + 对应关系决定值域

📌 表示：解析式、图像、列表

📌 记号：y = f(x)，强调对应关系

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函数的基本概念

复兴号高铁

空气质量指数

解析法

图像法

列表法